بررسی مسئله مقدار ویژه معکوس برای ماتریس های ژاکوبی با بعد مضاعف

مسئله مقدار ویژه معکوس به مسائلی گفته می شود که با استفاده از طیف اطلاعاتی داده شده ماتریسی ساخته می شود که دارای ساختار معین و شرایط مفروض باشد. مسئله مقدار ویژه معکوس در زمینه های گوناگونی کاربرد دارد که از آن جمله می توان به موارد زیر اشاره کرد: مسائل مهندسی، سیستم های مکانیکی و الکتریکی، حل معادلات حرارت، گرما و ... . مسئله مقدار ویژه معکوس برای ماتریس های ژاکوبی در کاربردهایی مثل دستگاه تولید انبوه برق یا مسئله استورم- لیوویل ظاهر می شود. در این پایان نامه چند مسئله مقدار ویژه برای ساخت ماتریس های ژاکوبی مطرح می گردد. مسئله مقدار ویژه معکوس برای ماتریس های ژاکوبی با بعد مضاعف به صورت زیر تعریف می شود: ماتریس ژاکوبی j_n از بعد n و یک مجموعه از مقادیر ویژه مجزا داده شده است، هدف ساخت یک ماتریس ژاکوبی j_2n از مرتبه 2n است که مجموعه مقادیر ویژه آن همان مجموعه مقادیر داده شده و زیرماتریس اصلی پیشرو با بعد n از آن دقیقاً j_n باشد. در سال 1976 مسئله مقدار ویژه برای ماتریس های ژاکوبی توسط هالد مورد مطالعه قرار گرفت. در سال 1979 هاچستد مسئله بعد مضاعف را مطرح کرد. فرض کنید که ?1, ?2, …, ?2n مجذور اولین مولفه ها از بردارهای ویژه نرمال شده از ماتریس j_2n باشند. در سال بولی 1987 بولی و گلوب یک روش عددی پایدار برای محاسبه ?1, ?2, …, ?2n بر پایه ی فرمول درجه دوم گوس ارائه کردند. در سال 1989 دای یک شرط لازم و کافی برای مسئله بعد مضاعف مطرح کرد و زو نتایج او را در سال 1996 بهبود بخشید. در الگوریتم های بولی- گلوب، دای و زو برای ساخت j_2n زیرماتریس اصلی پیشرو j_n دوباره ساخته می شود. لیانگ و جیانگ در سال 2007 یک شرط لازم و کافی و یک الگوریتم ارائه کردند که فقط نیازمند محاسبه زیرماتریس اصلی پسرو (j_(n+1,2n و ?_n است. در سال 2012 ژیائوکیان وو با استفاده از روش تقسیم و غلبه به حل این مسئله پرداخت و همچنین به همراه اریکسون جیانگ الگوریتمی جدید برای حل این مسئله ارائه کردند که در این پایان نامه به بیان تفصیلی دو روش اخیرالذکر پرداخته می شود. در فصل اول تعاریف و قضایای مورد نیاز در فصول بعدی بیان می گردد. در فصل دوم مسئله ساخت ماتریس ژاکوبی با چهار یا پنج ویژه مطرح می گردد و شرایط حل پذیری آن ها بررسی شده و در نهایت الگوریتم و مثال ارائه می شود. در فصل دوم الگوریتم حل مسئله ساخت ماتریس ژاکوبی (j_(1,n با استفاده از همه مقادیر ویژه ماتریس های ژاکوبی (j_(1,k-1 و (j_(k+1,n و (j_(1,n (مسئله k-ژاکوبی) بیان شده و به بیان چند لم و قضیه پایداری آن بررسی می گردد. در فصل سوم مسئله بعد مضاعف بیان می شود و دو الگوریتم برای حل آن ارائه می شود که برای هر الگوریتم روش محاسبه شرح داده می شود و همچنین مثال های عددی از این مسئله بیان می شود و نتایج آن ها در جداولی با نتایج به دست آمده از الگوریتم های دیگر مقایسه می گردد. لازم به ذکر است که الگوریتم های ارائه شده در این پایان نامه در نرم افزار متلب پیاده سازی شده است.